半径を累乗した正多角形と、原点からの距離を累乗した直線

トランプのダイヤがよく辺が凹んだ形で表現されるのに関連して考えたものの一つで、正多角形の各点の中心から距離をn乗してできる形です（ｒ→ｒ＾ｎという感じです）。
2P目が、五角形の場合にnが幾つでどんな形になるのかという図で、1P目はそれを（頂点が重なる形で）重ね合わせたものになってます。
超2次楕円のnが1未満の場合に似てますが、また別物になります。

3P目は、同じ操作を直線に対して行ったものです。
1～2Pの多角形も、結局はこの曲線を切り貼りして出来た形になってます。
非常にシンプルな定義なので既に名前とか付いてそうですが案外見当たりませんでした。
n=-1の時は円になります。
複素数平面で直線の逆数が円になるやつと似てますが、あちらは角度が変化するのに対してこちらは角度は固定なので、あれを同様に一般化したものはまた別の曲線になると思います。

原点からの距離だけで表されるので、何次元に対しても同様の操作ができます。
元は三次元でやる予定で、そのための二次元上での実験みたいな所がありますが、そちらは多分時間が掛かるのでまたの機会にしようと思います。

4P目は、1P目が頂点で重なる形になってるのに対し、辺の中点が重なる形で組み合わせた場合になってます。

■三次元の幾つかの多面体にも同じ処理を試してみました。→illust/96019056